1. Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 8, а угол при основании 60 градусов. Найти диагональ. 2. В ромбе АБСД АВ=13, ВД=24. Найти высоту ромба.

Решим обе задачи по очереди.

1. Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 8, угол при основании 60°, найти диагональ.

Пусть в равнобедренной трапеции большее основание равно 8, меньшее — 3.

Так как трапеция равнобедренная, разность оснований делится поровну по краям:

Это проекция боковой стороны на большее основание.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции. Угол при основании равен $60^\circ$, прилежащий катет равен $\frac{5}{2}$, тогда высота:

Теперь найдём диагональ. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому достаточно найти одну.

Если провести диагональ из левой нижней вершины в правую верхнюю, то её горизонтальная проекция равна:

Тогда по теореме Пифагора:

Ответ: диагональ равна 7.

2. В ромбе $ABCD$: $AB=13$, $BD=24$. Найти высоту ромба.

В ромбе все стороны равны, значит сторона ромба:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Значит половина диагонали $BD$:

Обозначим вторую диагональ через $AC$. Тогда её половина равна $\frac{AC}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — сторона ромба 13, а катеты — половины диагоналей:

Теперь найдём площадь ромба через диагонали:

С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту:

Ответ: высота ромба равна $\frac{120}{13}$.

Итоги:

1. Диагональ трапеции: $\boxed{7}$

2. Высота ромба: $\boxed{\frac{120}{13}}$