В трапеции основания 2 и 18, диагонали 15 и 7. Найти площадь трапеции.

Ответы на вопрос

Отвечает Тузова Виктория.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

У нас есть трапеция с основаниями $a = 2$ и $b = 18$ , а диагоналями $p = 15$ и $q = 7$ . Нужно найти площадь трапеции.

Пусть трапеция $ABCD$ , где $AB = 18$ — верхнее основание, $CD = 2$ — нижнее основание, а диагонали $AC = 15$ и $BD = 7$ .

Обозначим высоту трапеции через $h$ .

Для удобства можно поставить трапецию на координатную плоскость:

Пусть $D = (0,0)$ , $C = (2,0)$
Верхнее основание $AB = 18$ разместим так: пусть $B = (x, h)$ , тогда $A = (x+18, h)$

Диагонали:

AC^2 = (x+18 - 2)^2 + (h - 0)^2 = (x+16)^2 + h^2 = 15^2 = 225

(x+16)^2 + h^2 = 225

BD^2 = (x - 0)^2 + (h - 0)^2 = x^2 + h^2 = 7^2 = 49

Итак:

\begin{cases} (x+16)^2 + h^2 = 225 \\ x^2 + h^2 = 49 \end{cases}

Вычтем второе из первого:

(x+16)^2 - x^2 = 225 - 49 = 176

x^2 + 32x + 256 - x^2 = 32x + 256 = 176

32x = 176 - 256 = -80 \implies x = -\frac{80}{32} = -2.5

h^2 = 49 - x^2 = 49 - (-2.5)^2 = 49 - 6.25 = 42.75

h = \sqrt{42.75} = \frac{\sqrt{171}}{2} \approx 6.54

Формула площади трапеции:

S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h = \frac{2 + 18}{2} \cdot \frac{\sqrt{171}}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{171}}{2} = 5 \sqrt{171}

\boxed{5 \sqrt{171}}

Ответы на вопрос