Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 4 см. Вычислите расстояние между прямой AD и плоскостью СD1A1

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 4$ см. Нужно найти расстояние от прямой $AD$ до плоскости $CD_1A_1$.

Шаг 1: Размещение куба в координатной системе

Для удобства положим куб в прямоугольную систему координат:

• $A(0,0,0)$

• $B(a,0,0) = (4,0,0)$

• $C(a,a,0) = (4,4,0)$

• $D(0,a,0) = (0,4,0)$

• $A_1(0,0,a) = (0,0,4)$

• $B_1(a,0,a) = (4,0,4)$

• $C_1(a,a,a) = (4,4,4)$

• $D_1(0,a,a) = (0,4,4)$

Шаг 2: Параметризация прямой $AD$

Прямая $AD$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $D(0,4,0)$. Вектор направления:

Уравнение прямой в параметрической форме:

Шаг 3: Уравнение плоскости $CD_1A_1$

Три точки:

• $C(4,4,0)$

• $D_1(0,4,4)$

• $A_1(0,0,4)$

Составим два вектора на плоскости:

Нормаль к плоскости — векторное произведение:

Вычисляем детально: