Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что точка O — середина отрезка MN.

Для доказательства, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$, рассмотрим следующие шаги.

1. Пусть отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является их общей серединой. Это означает, что $O$ делит отрезок $AB$ пополам, то есть $AO = OB$, и отрезок $CD$ пополам, то есть $CO = OD$.

2. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AC$ и $BD$ соответственно. То есть:

   • $M$ — середина отрезка $AC$, значит $AM = MC$,

   • $N$ — середина отрезка $BD$, значит $BN = ND$.

3. Теперь рассмотрим векторное представление точек. Введём систему координат, где точка $O$ — начало координат, и выразим все остальные точки через координаты точек $A$, $B$, $C$ и $D$.

   Обозначим координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ как $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ и $\vec{D}$.

4. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$, следовательно, её координаты можно выразить как:

   $$\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}.$$

5. Точка $N$ является серединой отрезка $BD$, следовательно, её координаты можно выразить как:

   $$\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}.$$

6. Теперь найдём вектор $\vec{MN}$ как разницу между координатами точек $N$ и $M$:

   $$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{C}}{2}.$$

7. Поскольку $O$ является серединой отрезков $AB$ и $CD$, то его координаты будут средними для точек $A$ и $B$, а также для точек $C$ и $D$:

   $$\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}.$$