В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 60 градусов. Найти отношение оснований этой трапеции.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны:

• меньшее основание — $a$;

• большее основание — $b$;

• высота — $h$.

Расположим трапецию так, чтобы большее основание было снизу, меньшее — сверху, а одна боковая сторона была перпендикулярна основаниям.

Острый угол трапеции равен $60^\circ$. Этот угол находится при наклонной боковой стороне. Если опустить высоту, то получится прямоугольный треугольник, в котором один катет равен высоте $h$, а другой равен разности оснований $b-a$.

Так как угол равен $60^\circ$, имеем:

Отсюда:

Теперь рассмотрим меньшую диагональ. В такой трапеции меньшая диагональ соединяет конец большего основания с противоположным концом меньшего основания так, что вместе с меньшим основанием и высотой образует прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $h$.

По условию эта меньшая диагональ составляет с меньшим основанием угол $60^\circ$. Значит,

Отсюда:

Теперь приравняем два выражения для высоты:

Делим на $\sqrt3$:

Значит, большее основание в 2 раза больше меньшего.

Ответ: