радиус вписанной в равнобедренную трапецию окружности равен 12 см. Найти основания трапеции, если разность оснований трапеции равна 14 см.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• Трапеция равнобокая, вписанная окружность (значит, она равнобокая с окружностью, и сумма оснований равна сумме боковых сторон).

• Радиус вписанной окружности $r = 12$ см.

• Разность оснований $a - b = 14$ см, где $a > b$.

Что нужно найти: основания $a$ и $b$.

Шаг 1. Связь стороны трапеции и радиуса вписанной окружности

Для равнобокой трапеции с вписанной окружностью выполняется свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть:

• $a$ — большее основание,

• $b$ — меньшее основание,

• $c$ — боковая сторона.

Тогда:

Шаг 2. Связь радиуса с высотой

В равнобокой трапеции с вписанной окружностью радиус $r$ вписанной окружности связан с высотой $h$ и полупериметром трапеции.

Для вписанной окружности:

Более точно: если рассматривать равнобокую трапецию как две прямоугольные трапеции с треугольниками при боковых сторонах, получаем:

Высота $h$ связана с боковой стороной $c$ и полусуммой оснований:

• Боковая сторона $c$ образует с высотой прямоугольный треугольник:

Почему так: горизонтальное смещение половины разности оснований равно $\frac{a-b}{2}$, тогда боковая сторона $c$ — гипотенуза, $h$ — катет.

Шаг 3. Подставим данные

Разность оснований: $a - b = 14$. Половина разности: $\frac{a-b}{2} = 7$.

Высота равна радиусу вписанной окружности: $h = r = 12$.

Значит, по теореме Пифагора:

Шаг 4. Найдём основания

Свойство для вписанной окружности:

Система уравнений:

Сложим и вычтем уравнения:

• $a = \frac{27.78 + 14}{2} = \frac{41.78}{2} \approx 20.89$ см

• $b = \frac{27.78 - 14}{2} = \frac{13.78}{2} \approx 6.89$ см

✅ Ответ

• Большое основание $a \approx 20.9$ см

• Малое основание $b \approx 6.9$ см

Эти значения согласуются с условием разности оснований и радиуса вписанной окружности.

Если хочешь, могу нарисовать схему трапеции с этими размерами, чтобы визуально проверить.