Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Биссектриса угла B в два раза меньше

Ответы на вопрос

Отвечает Кравченко Юлия.

Разберу через стандартные формулы длин биссектрис и сведу условие к уравнению по одному углу, так как треугольник равнобедренный.

Пусть длины биссектрис углов $A$ и $B$ равны соответственно $l_A$ и $l_B$ . По условию

l_B=\frac12 l_A.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$ , то

AB=AC,

а углы при основании равны:

\angle B=\angle C.

Обозначим

\angle B=\angle C=\beta.

Тогда

\angle A=180^\circ-2\beta.

Пусть боковые стороны равны $AB=AC=s$ . Тогда основание

BC=2s\cos\beta.

Биссектриса угла $A$ в равнобедренном треугольнике одновременно является высотой, поэтому

l_A=s\sin\beta.

Теперь найдём биссектрису угла $B$ . Формула длины биссектрисы угла между сторонами $m$ и $n$ :

l=\frac{2mn\cos\frac{\theta}{2}}{m+n}.

Для угла $B$ прилежащие стороны равны

AB=s,\qquad BC=2s\cos\beta.

Значит,

l_B=\frac{2\cdot s\cdot 2s\cos\beta\cdot \cos\frac{\beta}{2}} {s+2s\cos\beta}.

Сокращаем:

l_B=\frac{4s\cos\beta\cos\frac{\beta}{2}}{1+2\cos\beta}.

По условию

\frac{4s\cos\beta\cos\frac{\beta}{2}}{1+2\cos\beta} = \frac12 s\sin\beta.

Сократим $s$ :

\frac{4\cos\beta\cos\frac{\beta}{2}}{1+2\cos\beta} = \frac12\sin\beta.

Умножим на $2(1+2\cos\beta)$ :

8\cos\beta\cos\frac{\beta}{2} = \sin\beta(1+2\cos\beta).

Положим

x=\sin\frac{\beta}{2}.

Тогда

\sin\beta=2x\cos\frac{\beta}{2},

\cos\beta=1-2x^2.

Подставляем:

8(1-2x^2)\cos\frac{\beta}{2} = 2x\cos\frac{\beta}{2}(1+2(1-2x^2)).

Так как $\cos\frac{\beta}{2}\neq 0$ , сокращаем:

8(1-2x^2)=2x(3-4x^2).

Раскрываем скобки:

8-16x^2=6x-8x^3.

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Биссектриса угла B в два раза меньше биссектрисы угла A. Найти все углы треугольника A, B, C.