Докажите, что если плоскости А и В перпендикулярны прямой а, то они параллельны.

Давайте разберём это шаг за шагом, используя геометрические рассуждения и определения.

Условие: есть прямая $a$, и две плоскости $A$ и $B$, каждая из которых перпендикулярна этой прямой. Нужно доказать, что $A \parallel B$.

1. Понимание термина «перпендикулярность плоскости и прямой»

Прямая $a$ называется перпендикулярной плоскости $A$, если она пересекает плоскость и образует с любой прямой на плоскости угол $90^\circ$. Иными словами, если $a \perp A$, то $a$ перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости $A$ и проходящей через точку пересечения.

То же самое верно для плоскости $B$.

2. Рассмотрим взаимное расположение плоскостей

Предположим, что плоскости $A$ и $B$ не параллельны. Тогда они должны пересекаться по какой-то прямой $l$.

Но прямая $l$, как линия пересечения двух непараллельных плоскостей, лежит одновременно в $A$ и $B$.

3. Используем условие перпендикулярности

Прямая $a$ перпендикулярна обеим плоскостям, то есть:

• $a \perp A \Rightarrow a \perp l$ (так как $l \subset A$)

• $a \perp B \Rightarrow a \perp l$ (так как $l \subset B$)

Это верно, потому что $l$ лежит в обеих плоскостях.

4. Противоречие

Если $A$ и $B$ пересекаются, то линия $l$ существует и имеет определённое направление. Прямая $a$ перпендикулярна $l$. Но в пространстве через точку можно провести только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, если мы фиксируем направление пересечения. Если бы $A$ и $B$ пересекались, пришлось бы строить две разные плоскости с одинаковой нормалью, пересекающиеся по прямой, что невозможно — они совпадали бы, но по условию это разные плоскости.

Иными словами, для двух различных плоскостей, обе перпендикулярных одной и той же прямой, невозможно иметь пересечение, так как любая прямая в плоскости должна быть перпендикулярна данной прямой $a$, что возможно только для плоскостей, которые не пересекаются.

5. Вывод

Следовательно, плоскости $A$ и $B$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Итог:

Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, они не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Это свойство иногда формулируют так: «Все плоскости, перпендикулярные данной прямой, образуют семейство параллельных плоскостей».