Докажите, что для любого натурального n выражение $7^{n+1} + 8^{2n-1}$ нацело делится на 19.

Ответы на вопрос

Отвечает Нефедченко Антон.

Давайте разберём задачу шаг за шагом. Нужно доказать, что для любого натурального $n$ число

7^{n+1} + 8^{2n-1}

делится на 19. То есть показать, что

7^{n+1} + 8^{2n-1} \equiv 0 \pmod{19}.

Вычислим первые несколько степеней 7 по модулю 19:

7^1 \equiv 7 \pmod{19}

7^2 = 49 \equiv 49 - 38 = 11 \pmod{19}

7^3 = 7 \cdot 11 = 77 \equiv 77 - 76 = 1 \pmod{19}

То есть мы видим, что:

7^3 \equiv 1 \pmod{19}.

Следовательно, степени 7 цикличны с периодом 3:

7^{3k} \equiv 1, \quad 7^{3k+1} \equiv 7, \quad 7^{3k+2} \equiv 11 \pmod{19}.

Считаем первые степени 8 по модулю 19:

8^1 \equiv 8 \pmod{19}

8^2 = 64 \equiv 64 - 57 = 7 \pmod{19}

8^3 = 8 \cdot 7 = 56 \equiv 56 - 38 = 18 \equiv -1 \pmod{19}

8^4 = 8 \cdot (-1) = -8 \equiv 11 \pmod{19}

8^6 = (8^3)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{19}.

Значит, степени 8 цикличны с периодом 6:

8^6 \equiv 1 \pmod{19}.

Попробуем переписать $8^{2n-1}$ через отрицательные числа, чтобы соединить с 7. Заметим, что:

8 \equiv -11 \pmod{19}, \quad \text{потому что } 8 + 11 = 19

Следовательно:

8^{2n-1} \equiv (-11)^{2n-1} = -11^{2n-1} \pmod{19}.

Теперь нужно проверить, что:

7^{n+1} - 11^{2n-1} \equiv 0 \pmod{19} \quad ?

n = 1:

7^{1+1} + 8^{2\cdot 1 -1} = 7^2 + 8^1 = 11 + 8 = 19 \equiv 0 \pmod{19}

n = 2:

7^{3} + 8^{3} \equiv 1 + (-1) = 0 \pmod{19}

n = 3:

7^4 + 8^5 = 7 \cdot 7^3 + 8^5 \equiv 7 \cdot 1 + 8^5 \equiv 7 + ? \pmod{19}

Вычислим $8^5$ :

8^5 = 8^3 \cdot 8^2 \equiv (-1) \cdot 7 = -7 \pmod{19}.

Докажите, что для любого натурального n выражение \(7^{n+1} + 8^{2n-1}\) нацело делится на 19.