Докажите что число корень из 2016×2019×2022×2025+81 является целым

Давайте разберём этот пример шаг за шагом, чтобы понять, почему число

является целым.

Шаг 1. Заметим структуру чисел

Смотрим на последовательность чисел: 2016, 2019, 2022, 2025.
Если вычесть 2016 из каждого числа, получаем:

То есть, эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 3.
Можно записать их через $a = 2016$ и $d = 3$:

Шаг 2. Представим произведение через среднее

Иногда удобно группировать произведение так:

• 2016 × 2025 = a × (a+3d)

• 2019 × 2022 = (a+d) × (a+2d)

Подставляем $a = 2016$, $d = 3$:

1. $2016 \cdot 2025 = a(a+3d) = a(a+9)$

2. $2019 \cdot 2022 = (a+d)(a+2d) = (a+3)(a+6)$

Таким образом:

Шаг 3. Попробуем группировать для квадрата

Переставим так:

Вычислим вторую скобку:

Итак, произведение:

Шаг 4. Добавим 81

Теперь выражение под корнем:

Заметим, что $(a^2 + 9a)(a^2 + 9a + 18) + 81$ похоже на вид $x(x+18)+81$.
Пусть $x = a^2 + 9a$, тогда:

Шаг 5. Подставляем обратно

Шаг 6. Получаем целое число

Подставляем $a = 2016$:

Это точно целое число, значит исходное выражение под корнем действительно является полным квадратом. ✅

Вывод:

– это целое число.

Если хочешь, могу показать быстрый способ без подстановки чисел, который работает для любой такой последовательности.