В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости α, а другой образует с ней угол 45°. Найдите угол между гипотенузой данного треугольника и данной плоскостью.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной \(a\) и прямым углом при вершине \(A\). Пусть катет \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а катет \(AB\) образует с этой плоскостью угол \(45^\circ\).

Введём систему координат: плоскость \(\alpha\) — плоскость \(Oxy\). Положим \(A(0,0,0)\), \(C(a,0,0)\). Так как \(AB \perp AC\) и длина \(AB = a\), а угол с плоскостью \(45^\circ\), то проекция \(AB\) на плоскость равна \(a \cos 45^\circ = a/\sqrt{2}\) и направлена по оси \(Oy\). Тогда \(B(0, a/\sqrt{2}, a/\sqrt{2})\).

Гипотенуза \(BC\): вектор \(\overrightarrow{BC} = (-a, a/\sqrt{2}, a/\sqrt{2})\). Её длина \(BC = a\sqrt{2}\).

Угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью находится через синус: \(\sin \varphi = \frac{\text{длина вертикальной проекции}}{\text{длина отрезка}}\). Вертикальная составляющая \(BC\) равна \(a/\sqrt{2}\). Тогда \(\sin \varphi = \frac{a/\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\), откуда \(\varphi = 30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).

0 0 Пожаловаться