1. Дано: A(−1; 5; 3), B(7; −1; 3), C(3; −2; 6). Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

2. Дано: A(−1; 5; 3), B(7; −1; 3), C(3; −2; 6). Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим стороны треугольника как векторы:

\(\overrightarrow{CA}=A-C=(-1-3;\;5-(-2);\;3-6)=(-4;\;7;\;-3)\)

\(\overrightarrow{CB}=B-C=(7-3;\;-1-(-2);\;3-6)=(4;\;1;\;-3)\)

Найдём их скалярное произведение:

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-4)\cdot4+7\cdot1+(-3)\cdot(-3)=-16+7+9=0\]

Скалярное произведение равно нулю, значит, стороны \(CA\) и \(CB\) перпендикулярны. Следовательно, треугольник \(ABC\) прямоугольный, прямой угол находится при вершине \(C\).

Гипотенуза — сторона \(AB\). Найдём её длину:

\[AB=\sqrt{(7-(-1))^2+(-1-5)^2+(3-3)^2}=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{100}=10\]

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

\[m=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\]

Ответ: треугольник прямоугольный при вершине \(C\), длина медианы равна \(5\).

0 0 Пожаловаться