2. Треугольник АВС – прямоугольный (∠С = 90°), ∠А = 30°, АС = а, DC ⊥ АВС. DC = a. Чему равен угол между плоскостями ADB и ACB? 3. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость α, параллельная гипотенузе и составляющая с катетом угол 30°. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью α.

2. Найдём угол между плоскостями $ADB$ и $ACB$.

Плоскость $ACB$ — это плоскость исходного треугольника. Удобно ввести координаты:

Так как $\angle C=90^\circ$, $\angle A=30^\circ$, $AC=a$, то

откуда

Поскольку $DC\perp (ABC)$ и $DC=a$, то можно взять

Теперь найдём нормали к плоскостям.

Для плоскости $ACB$ нормаль очевидна:

Для плоскости $ADB$ возьмём два вектора:

Тогда нормаль к плоскости $ADB$:

После вычисления получаем вектор, пропорциональный

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями:

Значит,

Можно записать и иначе:

Ответ: