В трапеции АВСД с основаниями ВС и АД проведены биссектрисы углов А и В до пересечения с основаниями в точках N и К соответственно, АВ = 5 см. Найти периметр четырёхугольника АВNК.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Биссектриса угла A пересекает BC в точке N, биссектриса угла B — AD в точке K. Обозначим ∠A = α, ∠B = β. Так как AD ∥ BC, то α + β = 180°.

В треугольнике ABN: ∠BAN = α/2, ∠ABN = β. Тогда ∠ANB = 180° – (α/2 + β) = α/2. Значит, треугольник ABN равнобедренный, и BN = AB = 5 см.

В треугольнике ABK: ∠ABK = β/2, ∠BAK = α. Тогда ∠AKB = 180° – (α + β/2) = β/2. Треугольник ABK равнобедренный, и AK = AB = 5 см.

Теперь найдём NK. Используем координаты: поместим A в начало, AD на оси x. Тогда A(0,0), B(5 cos α, 5 sin α). Биссектриса AN: y = x tg(α/2), пересекает BC (y = 5 sin α) в точке N(5(1+cos α), 5 sin α). Биссектриса BK пересекает AD (y=0) в точке K(5,0). Тогда NK = √[(5 cos α)² + (5 sin α)²] = 5 см.

Все стороны четырёхугольника ABNK равны 5 см. Периметр = 4 × 5 = 20 см.

Ответ: 20 см.

0 0 Пожаловаться