Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АС в точке М. Найдите периметр треугольника, если АМ = 4, МС = 10, а ∠ABC = 60°.

Пусть вписанная окружность касается сторон \( AB \) и \( BC \) в точках \( K \) и \( L \) соответственно. По свойству касательных: \( AK = AM = 4 \), \( CM = CL = 10 \), \( BK = BL = x \).

Тогда стороны: \( AB = 4 + x \), \( BC = x + 10 \), \( AC = 14 \).

По теореме косинусов для \( \triangle ABC \) с углом \( \angle B = 60^\circ \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ \] \[ 14^2 = (4+x)^2 + (x+10)^2 - 2(4+x)(x+10) \cdot \frac{1}{2} \]

Раскроем скобки: \( 196 = (x^2+8x+16) + (x^2+20x+100) - (x^2+14x+40) \)

\( 196 = x^2 + 14x + 76 \)

\( x^2 + 14x - 120 = 0 \), откуда \( x = 6 \) (положительный корень).

Периметр: \( P = AB + BC + AC = (4+6) + (6+10) + 14 = 10 + 16 + 14 = 40 \).

Ответ: 40.

0 0 Пожаловаться