Дан треугольник ABC, PQ — средняя линия треугольника ABC, площадь которого равна 48. Найди площадь трапеции APQB, используя признаки подобия.

Дан треугольник $ABC$, его площадь равна $48$. Отрезок $PQ$ — средняя линия треугольника, то есть точки $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

Нужно найти площадь трапеции $APQB$.

Так как $PQ$ — средняя линия треугольника, то:

Рассмотрим треугольник $CPQ$ и треугольник $CAB$.

У них:

• угол $C$ общий;

• $CP$ относится к $CA$ как $1:2$, так как $P$ — середина $AC$;

• $CQ$ относится к $CB$ как $1:2$, так как $Q$ — середина $BC$.

Значит, треугольники $CPQ$ и $CAB$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Коэффициент подобия:

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

Так как площадь всего треугольника $ABC$ равна $48$, то:

Трапеция $APQB$ является частью треугольника $ABC$, которая остается после удаления маленького треугольника $CPQ$. Поэтому:

Ответ:

Площадь трапеции $APQB$ равна $36$.