Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AB1:B1C=2:1, BA1:A1C=8:1. Найдите следующие отношения.
AC1:C1B=

AP:PA1=

BP:PB1=

По теореме Чевы для чевиан, пересекающихся в одной точке:

\[ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1 \]

Из условия \(AB_1:B_1C = 2:1\) получаем \(CB_1:B_1A = 1:2\) (так как \(CB_1 = B_1C\), \(B_1A = AB_1\)). Подставляем:

\[ \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1 \Rightarrow 4 \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1 \Rightarrow \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{4} \]

Значит, \(AC_1:C_1B = 1:4\).

Для отношений на чевианах используем метод масс. Поместим в вершины массы так, чтобы точки \(A_1, B_1, C_1\) были центрами масс сторон:

• На \(BC\): \(BA_1:A_1C = 8:1\), поэтому \(m_B:m_C = A_1C:BA_1 = 1:8\). Пусть \(m_B=1\), \(m_C=8\).
• На \(CA\): \(AB_1:B_1C = 2:1\), значит \(CB_1:B_1A = 1:2\), и \(m_C:m_A = B_1A:CB_1 = 2:1\). Отсюда \(m_A = m_C/2 = 4\).

Итак, массы: \(m_A=4\), \(m_B=1\), \(m_C=8\). Точка \(P\) — центр масс всей системы. Тогда:

\[ AP:PA_1 = (m_B+m_C):m_A = (1+8):4 = 9:4 \] \[ BP:PB_1 = (m_A+m_C):m_B = (4+8):1 = 12:1 \]

Ответ: \(AC_1:C_1B = 1:4\), \(AP:PA_1 = 9:4\), \(BP:PB_1 = 12:1\).

Отправить ответ