Если в окружность вписан правильный треугольник площадью 9√3, и в этот треугольник вписана окружность, то чему равна площадь полученного кольца?

Пусть сторона правильного треугольника равна \(a\). Его площадь:

\[S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

По условию \(S=9\sqrt{3}\), значит:

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\]

Сократим на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{a^2}{4}=9\]

\[a^2=36,\quad a=6\]

Радиус описанной окружности правильного треугольника: \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\).

Площадь кольца равна разности площадей окружностей:

\[S_{кольца}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(12-3)=9\pi\]

Ответ: \(9\pi\).

0 0 Пожаловаться