Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина большей окружности равна \(4\pi\). Найдите площадь кольца и площадь шестиугольника.

Рассмотрим правильный шестиугольник, в который вписана окружность и около которого описана окружность. Задано, что длина большей окружности равна $4\pi$.

Шаг 1. Находим радиус большей окружности.

Длина окружности вычисляется по формуле:

где $R$ — радиус окружности. Нам известно, что длина окружности равна $4\pi$, поэтому:

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

Таким образом, радиус большей окружности $R = 2$.

Шаг 2. Находим радиус вписанной окружности.

Правильный шестиугольник может быть разделен на 6 равносторонних треугольников, и его вписанная окружность касается каждой из сторон этих треугольников в середине. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра шестиугольника до середины любой его стороны. В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности $r$ связан с радиусом описанной окружности $R$ через формулу:

Подставим $R = 2$:

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $r = \sqrt{3}$.

Шаг 3. Находим площадь кольца.

Площадь кольца между двумя окружностями вычисляется как разность площадей этих окружностей. Площадь круга рассчитывается по формуле $\pi r^2$, где $r$ — радиус окружности. Таким образом, площадь кольца:

Подставляем значения радиусов:

Площадь кольца равна $\pi$.

Шаг 4. Находим площадь шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить через радиус описанной окружности $R$ по формуле:

Подставляем $R = 2$:

Площадь шестиугольника равна $6\sqrt{3}$.

Ответ:

• Площадь кольца равна $\pi$.

• Площадь шестиугольника равна $6\sqrt{3}$.