1. Дерево имеет в обхвате 19,8 дм. Чему равна площадь поперечного сечения дерева, имеющего форму круга? 2. Правильный треугольник вписан в окружность, радиус которой равен 6 см. Вычислите радиус окружности, описанной около квадрата, сторона которого равна стороне треугольника.

1. Чтобы найти площадь поперечного сечения дерева, которое имеет форму круга, нужно сначала найти радиус этого круга. Для этого используем формулу для длины окружности:
   $C = 2\pi r$,
   где $C$ — длина окружности (обхват дерева), $r$ — радиус окружности.

Обхват дерева равен 19,8 дм, что можно записать как:
$C = 19,8 \, \text{дм} = 19,8 \times 10 \, \text{см} = 198 \, \text{см}.$

Теперь найдем радиус $r$:
$198 = 2\pi r \Rightarrow r = \frac{198}{2\pi} \approx \frac{198}{6,28} \approx 31,5 \, \text{см}.$

Теперь, зная радиус, можем найти площадь поперечного сечения. Площадь круга рассчитывается по формуле:
$S = \pi r^2.$

Подставляем значение радиуса:
$S \approx \pi (31,5)^2 \approx 3,14 \times 992,25 \approx 3117,7 \, \text{см}^2.$

Ответ: площадь поперечного сечения дерева примерно равна 3117,7 см².

2. Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность с радиусом 6 см. Радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, является также расстоянием от центра окружности до вершины треугольника. Это расстояние называется радиусом описанной окружности.

Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, вычисляется через его сторону $a$, а радиус описанной окружности $R_2$ для правильного треугольника равен:
$R_2 = \frac{a}{\sqrt{3}}.$

Зная, что радиус окружности, в которой вписан правильный треугольник, равен 6 см, это радиус вписанной окружности, который связан с длиной стороны треугольника через формулу:
$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}},$
где $R_1 = 6$ см — радиус вписанной окружности.

Решаем для $a$:
$a = 6 \times \sqrt{3} \approx 6 \times 1,732 \approx 10,392 \, \text{см}.$

Теперь найдем радиус описанной окружности квадрата, стороны которого равны стороне треугольника. Для квадрата радиус описанной окружности $R_2$ равен половине диагонали квадрата:
$R_2 = \frac{a \sqrt{2}}{2}.$

Подставляем значение стороны квадрата:
$R_2 = \frac{10,392 \times \sqrt{2}}{2} \approx \frac{10,392 \times 1,414}{2} \approx 7,34 \, \text{см}.$

Ответ: радиус окружности, описанной около квадрата, равен примерно 7,34 см.