Основанием правильной четырёхугольной призмы служит квадрат, диагональ которого равна d. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите объём призмы.

Пусть диагональ основания равна \( d \). Основание — квадрат, значит его площадь:

\[ S = \frac{d^2}{2} \]

Плоскость проходит через диагональ основания и вершину верхнего основания, противоположную этой диагонали. Расстояние от этой вершины в основании до диагонали квадрата равно половине диагонали:

\[ \frac{d}{2} \]

Угол между плоскостью и основанием равен \( 45^\circ \), поэтому:

\[ \tan 45^\circ = \frac{h}{d/2} \]

Так как \( \tan 45^\circ = 1 \), получаем:

\[ h = \frac{d}{2} \]

Объём призмы:

\[ V = S \cdot h = \frac{d^2}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^3}{4} \]

Ответ: \( V = \frac{d^3}{4} \).

0 0 Пожаловаться