Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 3 и 6. Найдите площадь боковой

Ответы на вопрос

Отвечает Дрюпина Лиза.

Рассмотрим правильную треугольную усечённую пирамиду. Её основания — равносторонние треугольники со сторонами $6$ и $3$ .

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды находится по формуле

S_{\text{бок}}=\frac{P_1+P_2}{2}\cdot l,

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема усечённой пирамиды, то есть высота боковой трапеции.

Периметры оснований:

P_1=3\cdot 6=18,

P_2=3\cdot 3=9.

Теперь найдём апофему $l$ .

Боковое ребро соединяет соответствующие вершины двух равносторонних треугольников. Его проекция на плоскость основания равна разности радиусов описанных окружностей оснований.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен

R=\frac{a}{\sqrt3}.

Тогда для большого основания:

R_1=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3,

для малого основания:

R_2=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3.

Значит, проекция бокового ребра на основание равна

R_1-R_2=2\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3.

Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$ . Поэтому высота усечённой пирамиды равна

h=\sqrt3\cdot \tan 60^\circ.

Так как

\tan 60^\circ=\sqrt3,

получаем

h=\sqrt3\cdot \sqrt3=3.

Теперь найдём апофему. Она образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды и разностью радиусов вписанных окружностей оснований.

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности равен

r=\frac{a\sqrt3}{6}.

Для большого основания:

r_1=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3,

для малого основания:

r_2=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.

Их разность:

r_1-r_2=\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия