В четырёхугольнике ABCD BC параллельно AD, BC = 8 см. Биссектриса угла D попадает в точку B и образует со стороной BC угол 30 градусов, а с боковой стороной AB угол 90 градусов. Найдите расстояние от точки B до прямой AD, диагональ BD и площадь ABCD.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, где $BC\parallel AD$, $BC=8$ см.

Дано:

• $DB$ — биссектриса угла $D$;

• угол между $DB$ и $BC$ равен $30^{\circ }$;

• угол между $DB$ и $AB$ равен $90^{\circ }$.

Так как $DB$ — биссектриса угла $D$, то:

Поскольку $BC\parallel AD$, угол между $DB$ и $BC$ равен углу между $DB$ и $AD$:

Значит:

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём:

Следовательно:

Получается треугольник $ABD$ с углами $30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$.

Теперь найдём расстояние от точки $B$ до прямой $AD$. Это высота из прямого угла на гипотенузу $AD$.

Обозначим:

В прямоугольном треугольнике $BCD$:

А так как $BC=8$, то:

Но удобнее рассмотреть высоту между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. Она равна расстоянию от $B$ до $AD$.

Так как $BD$ образует угол $30^{\circ }$ с $BC$, то:

Теперь найдём $BD$. В треугольнике $BCD$ угол при $B$ равен $30^{\circ }$. Так как $D$ лежит на биссектрисе, а $AB\perp BD$, получаем, что горизонтальная проекция $BD$ равна половине $BC$:

Отсюда:

или

Теперь высота:

Осталось найти площадь трапеции $ABCD$.

Нижнее основание $AD$ найдём из треугольника $ABD$. Так как это треугольник $30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$, сторона напротив угла $30^{\circ }$ в два раза меньше гипотенузы.

Здесь: