Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=0; x=-1; x=1; y=-x². Вычислите объём заштрихованной фигуры, с условием, что вращать её нужно вокруг оси ОХ. Полное решение с графиком.

Решение задачи

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная линиями:

Найти:

1. Площадь криволинейной трапеции $S$.

2. Объём тела $V$, полученного при вращении этой трапеции вокруг оси $OX$.

1. Построение графика

Рассмотрим заданные линии:

• $y=0$ — ось $OX$.

• $x=-1$ — вертикальная прямая слева.

• $x=1$ — вертикальная прямая справа.

• $y=-x^2$ — парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0;0)$.

Для построения параболы составим таблицу значений:

График заданной области:

Рис. 1. Закрашенная область между параболой $y=-x^2$ и осью $OX$ при $-1\leq x\leq 1$.

2. Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя функция.

В нашей задаче:

Пределы интегрирования:

Подставим в формулу:

Упростим выражение:

Найдём первообразную:

Применим формулу Ньютона — Лейбница:

Подставим пределы:

Получаем:

3. Вычисление объёма тела вращения вокруг оси $OX$

При вращении закрашенной области вокруг оси $OX$