В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, площадь треугольника BOC равна 3. Найдите площадь четырёхугольника BOCP, где P — точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции.

Обозначим площадь треугольника $BOC$ через $S$. По условию:

Пусть продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Тогда точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой с $P$, а точки $D$ и $C$ — тоже на одной прямой с $P$. Получается большой треугольник $PBC$, внутри которого находится трапеция $ABCD$.

Так как:

то треугольники $PAD$ и $PBC$ подобны с коэффициентом подобия $2$. Значит,

Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В большом треугольнике $PBC$ это означает, что $O$ — точка пересечения двух медиально расположенных (относительно подобия) отрезков. Найдём соотношение площадей треугольников.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $POB$. Они имеют общую высоту из точки $C$ и $O$ к прямой $PB$, поэтому их площади относятся как соответствующие основания. Из подобия следует, что точка $O$ делит диагональ так, что

Отсюда получается, что площади треугольников $BOC$ и $POB$ равны:

Четырёхугольник $BOCP$ состоит из двух треугольников:

Следовательно,

Ответ:

0 0 Пожаловаться