Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большом основании трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями $20$ см и $12$ см.

Обозначим большее основание за $AB=20$, меньшее — за $CD=12$. Так как трапеция равнобедренная, она симметрична относительно перпендикуляра к основаниям, проходящего через их середины.

По условию центр описанной окружности лежит на большом основании. В равнобедренной трапеции центр описанной окружности находится на оси симметрии, значит он совпадает с серединой большего основания.

Пусть $O$ — центр окружности. Тогда:

Это радиус описанной окружности:

Расположим трапецию так, чтобы $O$ был началом координат. Тогда концы большего основания имеют координаты:

Меньшее основание длиной $12$ см расположено симметрично, поэтому его концы имеют абсциссы:

Пусть высота трапеции равна $h$. Тогда верхняя вершина, например, имеет координаты $(6;h)$. Она лежит на окружности радиуса 10, поэтому:

Теперь найдём боковую сторону. Горизонтальная разница между основаниями с одной стороны равна:

Боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $4$ см и $8$ см:

Теперь найдём диагональ. Диагональ, например, соединяет вершины с горизонтальным расстоянием:

и высотой $8$ см. Поэтому:

Ответ:

Диагональ равнобедренной трапеции равна $8\sqrt5$ см, а боковая сторона — $4\sqrt5$ см.

0 0 Пожаловаться