Боковая сторона равнобокой трапеции видна из точки пересечения диагоналей под углом 120 градусов. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 9.

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a$ и $b$, а высота $h=9$. Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей.

Рассмотрим боковую сторону трапеции. По условию она видна из точки $O$ под углом $120^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, точка $O$ лежит на оси симметрии, поэтому можно рассматривать одну боковую сторону. Пусть сумма оснований:

Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому расстояния от $O$ до верхнего и нижнего оснований равны:

Для угла между лучами, проведёнными из $O$ к концам боковой стороны, удобно использовать косинус. После вычисления скалярного произведения получаем:

Так как

имеем:

Решаем уравнение:

Отсюда:

Подставляем $h=9$:

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту:

Получаем:

0 0 Пожаловаться