1) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна √3, а боковое ребро равно 2. Найдите угол SAD.
2) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а высота равна √3. Найдите угол между высотой и боковым ребром.
3) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна √3, а боковое ребро равно 3. Найдите угол SAC.
4) В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна апофеме. Найдите угол между боковой гранью и основанием.

1. Найдите угол SAD

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

• Сторона основания $AB=\sqrt3$.

• Боковое ребро $SA=2$.

Найти: $\angle SAD$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $SAD$.

Так как пирамида правильная, все её боковые рёбра равны:

Основание пирамиды — правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике большая диагональ равна удвоенной стороне:

Треугольник $SAD$ равнобедренный, так как $SA=SD$.

По теореме косинусов:

Подставим значения:

Следовательно,

Ответ: $30^\circ$.

2. Найдите угол между высотой и боковым ребром

Дано:

• Сторона основания $AB=1$.

• Высота пирамиды $SO=\sqrt3$.

Найти: угол между высотой $SO$ и боковым ребром $SA$.

Решение:

Обозначим через $O$ центр основания правильной шестиугольной пирамиды.

Поскольку пирамида правильная, высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Следовательно, треугольник $SOA$ прямоугольный:

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, поэтому:

По теореме Пифагора найдём боковое ребро $SA$:

Искомый угол — $\angle OSA$.

Найдём его косинус:

Отсюда: