В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 0,25√11. Найти сторону основания пирамиды.

Задача касается правильной треугольной пирамиды, где даны боковое ребро и тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания. Нужно найти сторону основания пирамиды.

Обозначим:

• $S$ — сторона основания пирамиды,

• $P$ — вершина пирамиды,

• $A$, $B$, $C$ — вершины основания пирамиды.

Шаг 1: Рассмотрим геометрическую структуру пирамиды

В правильной треугольной пирамиде основание является правильным треугольником, а все боковые грани — равнобедренными треугольниками, в которых боковое ребро одинаково для всех граней. Также известно, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $\alpha$, и его тангенс равен $0,25\sqrt{11}$.

Шаг 2: Формулы для треугольной пирамиды

• Высота боковой грани от вершины пирамиды до основания будет перпендикулярна к центру основания.

• Боковое ребро $PA = PB = PC = 5$.

• Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $\alpha$, а тангенс этого угла равен $\tan \alpha = 0,25\sqrt{11}$.

Шаг 3: Рассмотрим боковой треугольник

Боковой треугольник имеет основание, равное стороне основания пирамиды $S$, и высоту, которая будет перпендикулярной к этому основанию. Мы знаем, что боковое ребро этой грани равно 5, и угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол наклона бокового ребра к основанию.

Шаг 4: Использование тангенса угла

Тангенс угла между боковой гранью и основанием можно выразить через высоту бокового треугольника $h$ и половину стороны основания $\frac{S}{2}$:

Из условия задачи известно, что $\tan \alpha = 0,25\sqrt{11}$, значит:

Или:

Шаг 5: Связь между высотой боковой грани и боковым ребром

Для нахождения высоты боковой грани $h$ можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это боковое ребро $5$, а один из катетов — высота боковой грани $h$. Второй катет — это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания, которое равно $\frac{S\sqrt{3}}{6}$ (половина высоты правильного треугольника).

Таким образом, по теореме Пифагора:

Шаг 6: Подставим выражение для $h$

Теперь подставим выражение для $h$ из шага 4:

Распишем:

Теперь приведем к общему знаменателю:

Умножим обе части на 12:

Теперь разделим обе части на 3,0625: