В правильный четырехугольник со стороной 4 см вписана окружность. Найдите радиус окружности; сторону правильного треугольника, описанного около данной окружности.

Для начала, рассмотрим правильный четырехугольник, в который вписана окружность. Это значит, что окружность касается всех четырех сторон квадрата, так как правильный четырехугольник — это квадрат.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в квадрат:

Площадь квадрата можно выразить через сторону $a$:

Вписанная окружность касается каждой стороны квадрата в одной точке. Радиус этой окружности равен расстоянию от центра квадрата до одной из его сторон. Для квадрата это расстояние равно половине длины стороны квадрата, то есть:

Так как сторона квадрата $a = 4$ см, то радиус окружности:

2. Теперь найдем сторону правильного треугольника, описанного около данной окружности:

Правильный треугольник, описанный около окружности, означает, что эта окружность касается всех трех сторон треугольника. Радиус окружности правильного треугольника можно выразить через его сторону $s$ с помощью формулы:

Где $r$ — радиус окружности, а $s$ — длина стороны правильного треугольника.

Из этой формулы можно выразить сторону треугольника:

Подставляем значение радиуса окружности $r = 2$ см:

Ответ: Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 2 см, а сторона правильного треугольника, описанного около этой окружности, равна $4\sqrt{3}$ см.