Ребро правильного тетраэдра равно √6. Найдите радиус шара, вписанного в данный тетраэдр.

Дано: правильный тетраэдр с ребром $a=\sqrt6$.

Найти: радиус $r$ шара, вписанного в тетраэдр.

Решение

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все четыре грани которой являются равносторонними треугольниками.

Для нахождения радиуса вписанного шара воспользуемся формулой:

где:

• $V$ — объём тетраэдра;

• $S$ — площадь полной поверхности тетраэдра;

• $r$ — радиус вписанного шара.

Отсюда:

1. Найдём площадь полной поверхности тетраэдра.

Площадь одной грани (равностороннего треугольника) равна:

Подставим $a=\sqrt6$:

Так как у тетраэдра четыре одинаковые грани, получаем:

2. Найдём объём тетраэдра.

Объём правильного тетраэдра вычисляется по формуле:

Подставим значение ребра:

Поскольку $(\sqrt6)^3=6\sqrt6$, получаем:

3. Вычислим радиус вписанного шара.

Подставим найденные значения объёма и площади поверхности в формулу: