Сформулировать и доказать теорему, выражающую признак равенства треугольников по трём сторонам.

Теорема (признак равенства треугольников по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, причём:

Доказать:

Доказательство

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых соответственно равны все три стороны.

1. Приложим треугольник $A_1B_1C_1$ к треугольнику $ABC$ так, чтобы сторона $A_1B_1$ совместилась со стороной $AB$. Это возможно, так как $AB=A_1B_1$.

2. Вершины $A_1$ и $B_1$ совпадут соответственно с вершинами $A$ и $B$.

3. Вершина $C_1$ окажется либо по ту же сторону от прямой $AB$, что и вершина $C$, либо по другую сторону. Если вершины находятся по разные стороны, мысленно отразим один из треугольников относительно прямой $AB$. Тогда вершины $C$ и $C_1$ окажутся по одну сторону от этой прямой.

4. По условию $AC=A_1C_1$ и $BC=B_1C_1$. Следовательно, после совмещения треугольников точка $C$ находится на одинаковом расстоянии от точек $A$ и $B$, что и точка $C_1$.

Значит, точки $A$ и $B$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $CC_1$. Поэтому прямая $AB$ является серединным перпендикуляром к $CC_1$.

Но точки $C$ и $C_1$ находятся по одну сторону от прямой $AB$. Это возможно только в том случае, если они совпадают.

Таким образом, вершины $A$, $B$, $C$ соответственно совпали с вершинами $A_1$, $B_1$, $C_1$.

Следовательно, треугольники полностью совместились, то есть они равны.

Теорема доказана.

Вывод

Для доказательства равенства двух треугольников достаточно установить равенство трёх соответствующих сторон. Этот признак называется третьим признаком равенства треугольников (по трём сторонам).