Построение перпендикуляра к отрезку из точки, лежащей на отрезке, и из точки, не лежащей на нём

Построение перпендикуляра к отрезку — одна из основных геометрических задач, которую можно решить с помощью циркуля и линейки.

Перпендикуляром называется прямая, пересекающая другую прямую под прямым углом, то есть под углом 90°.

Существуют два основных случая построения:

1. Через точку, лежащую на данном отрезке, необходимо провести перпендикуляр к нему.

2. Из точки, не лежащей на данном отрезке, необходимо опустить перпендикуляр на прямую, содержащую этот отрезок.

Рассмотрим каждый случай подробно.

1. Построение перпендикуляра из точки, лежащей на отрезке

Дано: отрезок $AB$ и точка $O$, лежащая на этом отрезке.

Требуется: провести через точку $O$ прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.

Порядок построения

1. Установим иглу циркуля в точку $O$ и проведём дугу окружности, пересекающую отрезок $AB$ в двух точках $M$ и $N$. При этом должно выполняться равенство $OM=ON$.

2. Установим циркуль в точку $M$ и проведём дугу окружности над отрезком. Радиус должен быть больше половины расстояния $MN$.

3. Не изменяя раствора циркуля, установим его в точку $N$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой. Точку пересечения обозначим $C$.

4. С помощью линейки проведём прямую через точки $O$ и $C$.

5. Полученная прямая $OC$ будет перпендикулярна отрезку $AB$.

Таким образом,

Доказательство правильности построения

По построению:

• $OM=ON$, так как точки $M$ и $N$ находятся на окружности с центром $O$.

• $CM=CN$, поскольку дуги проведены одинаковыми радиусами из точек $M$ и $N$.

• $OC$ — общая сторона треугольников $OMC$ и $ONC$.

Следовательно, треугольники $OMC$ и $ONC$ равны по трём сторонам.

Из их равенства следует, что

Поскольку точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой, сумма этих углов составляет 180°.

Значит,

Следовательно, прямая $OC$ перпендикулярна отрезку $AB$, что и требовалось доказать.

Особый случай: если точка $O$ совпадает с концом отрезка $A$ или $B$, необходимо предварительно продолжить прямую за этот конец, чтобы по обе стороны от точки $O$ можно было отложить равные расстояния.

2. Построение перпендикуляра из точки, не лежащей на отрезке

Дано: отрезок $AB$ и точка $P$, не лежащая на прямой $AB$.

Требуется: провести из точки $P$ перпендикуляр к прямой $AB$.

Порядок построения

1. С помощью линейки проведём прямую через точки $A$ и $B$, при необходимости продолжив отрезок.

2. Установим иглу циркуля в точку $P$ и проведём дугу окружности такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $AB$ в двух точках. Обозначим их $M$ и $N$.

3. Поскольку точки $M$ и $N$ принадлежат окружности с центром