Сколько общих точек имеют две окружности, радиусы которых равны 2 и 3, а расстояние между их центрами равно: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5; е) 6?

Чтобы определить количество общих точек двух окружностей, нужно сравнить расстояние между их центрами с суммой и разностью радиусов.

Дано:

• Радиус первой окружности: $R=3$.

• Радиус второй окружности: $r=2$.

• Сумма радиусов: $R+r=3+2=5$.

• Разность радиусов: $R-r=3-2=1$.

Возможны следующие случаи:

1. Если расстояние между центрами меньше разности радиусов, окружности не имеют общих точек.

2. Если расстояние равно разности радиусов, окружности имеют одну общую точку (внутреннее касание).

3. Если расстояние больше разности радиусов, но меньше суммы радиусов, окружности имеют две общие точки.

4. Если расстояние равно сумме радиусов, окружности имеют одну общую точку (внешнее касание).

5. Если расстояние больше суммы радиусов, окружности не имеют общих точек.

Рассмотрим каждый случай:

а) Расстояние равно 1.

$d=R-r=1$.

Окружности касаются внутренним образом, поэтому имеют 1 общую точку.

б) Расстояние равно 2.

$1<2<5$.

Окружности пересекаются в двух точках, поэтому имеют 2 общие точки.

в) Расстояние равно 3.

$1<3<5$.

Окружности пересекаются в двух точках, поэтому имеют 2 общие точки.

г) Расстояние равно 4.

$1<4<5$.

Окружности пересекаются в двух точках, поэтому имеют 2 общие точки.

д) Расстояние равно 5.

$d=R+r=5$.

Окружности касаются внешним образом, поэтому имеют 1 общую точку.

е) Расстояние равно 6.

$6>R+r=5$.

Окружности расположены отдельно друг от друга и не пересекаются, поэтому имеют 0 общих точек.

Ответ:

• а) 1 общая точка;

• б) 2 общие точки;

• в) 2 общие точки;

• г) 2 общие точки;

• д) 1 общая точка;

• е) 0 общих точек.