Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника.

Доказательство.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ$. Сторона $AB$ — гипотенуза, а $CM$ — медиана, проведённая к гипотенузе.

По определению медианы точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. Следовательно,

Докажем, что треугольники $AMC$ и $BMC$ равнобедренные.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Так как $CM$ — медиана, проведённая к гипотенузе, то середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин треугольника.

По свойству прямоугольного треугольника:

Отсюда получаем:

и

Значит:

• треугольник $AMC$ равнобедренный, так как $AM=CM$;

• треугольник $BMC$ равнобедренный, так как $BM=CM$.

Вывод: медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника. Что и требовалось доказать. $\square$