Найдите координаты центра и радиус окружности, если окружность задана уравнением x² - 4x + y² + 6y - 12 = 0. Постройте окружность на координатной плоскости по заданному уравнению.

Для решения задачи необходимо привести данное уравнение окружности к стандартному виду, выделив полные квадраты.

1. Запишем исходное уравнение:

Перенесём свободный член в правую часть:

2. Выделим полные квадраты.

Рассмотрим выражения с переменными $x$ и $y$.

Для $x^2-4x$ добавим и вычтем число $4$:

Для $y^2+6y$ добавим и вычтем число $9$:

Подставим полученные выражения в уравнение:

Перенесём числа в правую часть:

Получаем:

3. Определим координаты центра и радиус окружности.

Стандартное уравнение окружности имеет вид:

где:

• $O(a;b)$ — координаты центра окружности;

• $R$ — радиус окружности.

Сравним стандартное уравнение с полученным:

Следовательно:

• Абсцисса центра: $a=2$.

• Ордината центра: $b=-3$.

• Радиус: $R=\sqrt{25}=5$.

4. Построим окружность на координатной плоскости.

Для построения необходимо:

1. Отметить на координатной плоскости центр окружности $O(2;-3)$.

2. От центра отложить 5 единиц вправо, влево, вверх и вниз.

3. Получить четыре точки окружности:

   • $A(7;-3)$ — правая точка;

   • $B(-3;-3)$ — левая точка;

   • $C(2;2)$ — верхняя точка;

   • $D(2;-8)$ — нижняя точка.

4. Провести через эти точки плавную замкнутую линию — окружность.

study.com

На рисунке окружность должна проходить через все четыре указанные точки, а её центр находиться в точке $O(2;-3)$.

Итог: исходное уравнение окружности после преобразования принимает вид