839. Объем и площадь полной поверхности
тела
Высота конуса 12 см, а радиус основания 6 см. От конуса отсечен
меньший конус плоскостью, проведенной на расстоянии 4 см от
вершины параллельно основанию конуса. Найди объем и
площадь полной поверхности оставшейся части исходного
конуса.

Радиус малого отсечённого конуса найдём по подобию:

\[r=\frac{6\cdot4}{12}=2\text{ см}\]

Высота оставшейся части:

\[12-4=8\text{ см}\]

Объём большого конуса:

\[V_1=\frac13\pi\cdot6^2\cdot12=144\pi\text{ см}^3\]

Объём малого конуса:

\[V_2=\frac13\pi\cdot2^2\cdot4=\frac{16\pi}{3}\text{ см}^3\]

Объём оставшейся части:

\[V=V_1-V_2=\frac{416\pi}{3}\text{ см}^3\]

Образующая усечённого конуса:

\[l=\sqrt{8^2+(6-2)^2}=4\sqrt5\text{ см}\]

Полная площадь поверхности равна площади боковой поверхности и двух оснований:

\[S=\pi(6+2)\cdot4\sqrt5+\pi\cdot6^2+\pi\cdot2^2\]

\[S=32\pi\sqrt5+40\pi\text{ см}^2\]

Ответ: \(V=\frac{416\pi}{3}\text{ см}^3\), \(S=40\pi+32\pi\sqrt5\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться