В прямоугольном треугольнике MNK с гипотенузой NK проведены биссектриса KD и перпендикуляр DE к гипотенузе. Докажите, что если NE = EK, то MN = 3MD.

Обозначим \(MN=b\), \(MK=a\), \(MD=x\).

Так как \(KD\) — биссектриса угла \(MKN\), по теореме о биссектрисе:

\[\frac{x}{b-x}=\frac{a}{NK}.\]

Точка \(E\) — середина гипотенузы \(NK\), так как \(NE=EK\). В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, поэтому \(ME=KE=NE\). Учитывая, что \(DE\perp NK\), из получающихся прямоугольных треугольников следует:

\[b^2=a^2+2bx.\]

Подставим это соотношение в равенство, полученное из теоремы о биссектрисе. После преобразований получаем:

\[b=3x.\]

Но \(b=MN\), а \(x=MD\). Следовательно, \[MN=3MD.\]

0 0 Пожаловаться