Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды — прямоугольный треугольник, площадь которого 24 см². Найдите объем пирамиды

Диагональное сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его прямой угол находится у вершины пирамиды.

Пусть \(d\) — диагональ основания, \(h\) — высота пирамиды. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна её половине, поэтому \(h=\frac{d}{2}\).

Площадь сечения:

\[\frac{dh}{2}=24\]

Подставим \(h=\frac{d}{2}\):

\[\frac{d^2}{4}=24,\quad d^2=96\]

Площадь квадратного основания равна половине квадрата диагонали:

\[S_{\text{осн}}=\frac{d^2}{2}=48\]

\[h=\frac{d}{2}=2\sqrt{6}\]

Тогда объём:

\[V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot48\cdot2\sqrt{6}=32\sqrt{6}\ \text{см}^3\]

Ответ: \(32\sqrt{6}\ \text{см}^3\).

0 0 Пожаловаться