Докажите, что, если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные углы равны: \(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\).

Сумма углов любого четырёхугольника равна \(360^\circ\). Поэтому

\[\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.\]

Так как \(\angle A=\angle C\), а \(\angle B=\angle D\), получаем:

\[2\angle A+2\angle B=360^\circ,\]

значит, \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Эти углы являются внутренними односторонними при прямой \(AB\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

Аналогично \(\angle B+\angle C=180^\circ\), поэтому \(AB\parallel CD\). Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

0 0 Пожаловаться