Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС, В и С - точки касания; угол АОВ = 8 · угол ОАС. Найдите угол ВОС.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться свойствами касательных к окружности, теоремой о внешнем угле треугольника и отношением между углами, указанным в условии.

1. Основные факты о касательных

• Касательные к окружности из одной точки равны: $AB = AC$.
• Углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания, прямые: $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$.
• $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ равнобедренные.

Обозначим:

• $\angle OAC = x$ (один из углов равнобедренного треугольника $\triangle ACO$).
• Тогда угол $\angle OAB = x$, так как $AB = AC$.

2. Условие задачи

По условию задачи дано, что:

Подставим обозначение:

3. Углы в четырёхугольнике AOCB

Четырёхугольник $AOCB$ является вписанным, так как точки $A, O, B, C$ лежат на окружности, а $AB$ и $AC$ — касательные. Для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно:

Угол $\angle ACB$ равен $2x$, так как это внешний угол равнобедренного треугольника $\triangle ACO$, равный сумме двух других углов:

Подставим $\angle AOB = 8x$ в уравнение:

4. Найдём $x$

5. Найдём угол $\angle AOB$

6. Найдём угол $\angle BOC$

В треугольнике $\triangle BOC$, угол $\angle BOC$ является внешним по отношению к углу $\angle AOB$. Угол $\angle BOC$ равен разности между $180^\circ$ и $\angle AOB$, так как $\angle BOC$ и $\angle AOB$ являются смежными углами:

Ответ: