Биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, делят противоположную сторону на три равные части. Чему может быть равно отношение большей стороны параллелограмма к меньшей?

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором биссектрисы углов $A$ и $B$, выходящие из одной стороны (пусть это $AB$), делят противоположную сторону $CD$ на три равные части. Нам нужно найти возможные значения отношения большей стороны параллелограмма к меньшей.

1. Введение обозначений

Обозначим:

• $AB = a$ — одна сторона параллелограмма,

• $BC = b$ — другая сторона,

• Точки деления $CD$ обозначим как $P$ и $Q$, так что $CP = PQ = QD$.

Так как биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекают $CD$ в таких точках, что делят её на три равные части, это означает, что они делят противоположную сторону в отношении, зависящем от отношения сторон параллелограмма.

2. Использование теоремы о биссектрисе

Из теоремы о биссектрисе известно, что биссектриса в треугольнике делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. Применим её к треугольникам $ACD$ и $BCD$.

• Биссектриса угла $A$ делит $CD$ в отношении $\frac{b}{a}$.

• Биссектриса угла $B$ делит $CD$ в отношении $\frac{a}{b}$.

Так как обе биссектрисы делят $CD$ на три равные части, получаем уравнение:

3. Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на $a$ и $b$, чтобы избавиться от дробей:

Перепишем уравнение:

Решаем квадратное уравнение относительно $b$:

Упрощаем:

Так как сторона должна быть положительной, берём только положительное значение:

4. Итоговое отношение сторон

Отношение большей стороны к меньшей:

Таким образом, возможное значение отношения большей стороны параллелограмма к меньшей — $1 + \sqrt{2}$.