Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой. Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку $M$ и пересекающую прямую $a$. Обозначим её через $b$. Нужно доказать, что все такие прямые лежат в одной плоскости.

Так как точка $M$ не лежит на прямой $a$, через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость через $\alpha$.

Возьмём любую прямую $b$, которая проходит через точку $M$ и пересекает прямую $a$ в некоторой точке $N$. Точка $N$ лежит на прямой $a$, а значит, принадлежит плоскости $\alpha$. По условию точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$.

Получается, что прямая $b$ проходит через две точки $M$ и $N$, принадлежащие плоскости $\alpha$. По свойству плоскости: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Мы доказали, что любая прямая, проходящая через точку $M$ и пересекающая данную прямую $a$, лежит в одной и той же плоскости $\alpha$.

Значит, все такие прямые находятся в одной плоскости, что и требовалось доказать. $■$