В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, АВ = 27, sin A = 2/3. Найдите BH.

В треугольнике ABC угол C прямой, то есть это прямоугольный треугольник. Даны следующие данные:

• угол C = 90°,

• $AB = 27$,

• $\sin A = \frac{2}{3}$,

• CH — высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Задача требует найти длину отрезка BH.

Шаг 1. Определим длины сторон треугольника ABC

В прямоугольном треугольнике мы знаем синус угла A:

Из условия задачи $\sin A = \frac{2}{3}$, следовательно:

Отсюда находим $BC$:

Теперь, зная $AB = 27$ и $BC = 18$, можем найти длину катета $AC$, используя теорему Пифагора:

Подставляем значения:

Шаг 2. Используем свойство высоты

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим эти отрезки как $AH$ и $BH$.

Из теоремы о высоте прямоугольного треугольника на гипотенузу знаем, что:

Кроме того, мы знаем, что произведение длин отрезков гипотенузы также можно выразить через длины катетов:

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольников $AHC$ и $BHC$, получаем следующие уравнения для этих треугольников:

1. $AH^2 + CH^2 = AC^2$,

2. $BH^2 + CH^2 = BC^2$.

Подставляя известные значения, можно найти $BH$ через систему этих уравнений. После некоторых вычислений получаем:

Ответ: $BH = 12$.