Не выполняя построения графика функции Y=-4X^2+5x ,найдите её наибольшее или наименьшее значение

Для того чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции $Y = -4X^2 + 5X$, нужно определить, есть ли у неё экстремумы (максимумы или минимумы). Это можно сделать через анализ её производной.

1. Находим первую производную функции $Y$:

   $$Y' = \frac{d}{dX}(-4X^2 + 5X) = -8X + 5$$

2. Найдем критическую точку, при которой производная равна нулю:

   $$-8X + 5 = 0$$

   Решим это уравнение:

   $$-8X = -5 \quad \Rightarrow \quad X = \frac{5}{8}$$

3. Определим, является ли это максимумом или минимумом, проверив вторую производную:

   $$Y'' = \frac{d}{dX}(-8X + 5) = -8$$

   Так как вторая производная отрицательна ($Y'' = -8 < 0$), это значит, что точка $X = \frac{5}{8}$ является точкой максимума.

4. Вычислим значение функции в точке максимума:
   Подставим $X = \frac{5}{8}$ в исходную функцию:

   $$Y = -4\left(\frac{5}{8}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{8}\right)$$

   Вычислим поэтапно:

   $$Y = -4\left(\frac{25}{64}\right) + 5\left(\frac{5}{8}\right) = -\frac{100}{64} + \frac{25}{8}$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$Y = -\frac{100}{64} + \frac{200}{64} = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$$

Таким образом, наибольшее значение функции $Y = -4X^2 + 5X$ равно $\frac{25}{16}$, и оно достигается в точке $X = \frac{5}{8}$.