Решить уравнение 4sin²x - 4cosx - 1 = 0

Рассмотрим уравнение $4\sin^2(x) - 4\cos(x) - 1 = 0$. Для его решения воспользуемся тригонометрическими тождествами и заменами.

1. Известно, что $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$. Подставим это в исходное уравнение:

   $$4(1 - \cos^2(x)) - 4\cos(x) - 1 = 0$$

2. Упростим выражение:

   $$4 - 4\cos^2(x) - 4\cos(x) - 1 = 0$$ $$3 - 4\cos^2(x) - 4\cos(x) = 0$$

   Переносим все члены на одну сторону:

   $$-4\cos^2(x) - 4\cos(x) + 3 = 0$$

   Умножим на $-1$ для удобства:

   $$4\cos^2(x) + 4\cos(x) - 3 = 0$$

3. Это квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Обозначим $y = \cos(x)$, и уравнение примет вид:

   $$4y^2 + 4y - 3 = 0$$

4. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 4$, $b = 4$, $c = -3$. Подставим значения:

   $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(4)(-3)}}{2(4)}$$ $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8}$$ $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8}$$ $$y = \frac{-4 \pm 8}{8}$$

5. Найдем два значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$$

6. Теперь вернемся к $\cos(x)$:

   • Для $y_1 = \frac{1}{2}$ получаем $\cos(x) = \frac{1}{2}$.

   • Для $y_2 = -\frac{3}{2}$ решение не существует, так как $\cos(x)$ не может быть меньше $-1$.

7. Найдем значения $x$ для $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Известно, что $\cos(x) = \frac{1}{2}$ при:

   $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$