Решить уравнение х^4-2х^3-х^2-2х+1=0

Для решения уравнения $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$ можно воспользоваться методом подбора корней или применить факторизацию. Начнем с анализа уравнения.

1. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях.

   Теорема о рациональных корнях утверждает, что возможные рациональные корни уравнения вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ имеют вид $\pm \frac{p}{q}$, где $p$ — это делители свободного члена $a_0$, а $q$ — делители старшего коэффициента $a_n$. В нашем уравнении $a_0 = 1$ и $a_4 = 1$, так что возможные рациональные корни — это $\pm 1$.

2. Проверим $x = 1$:

   Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

   $$1^4 - 2(1^3) - 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 - 1 - 2 + 1 = -3 \neq 0.$$

   Значит, $x = 1$ — не корень.

3. Проверим $x = -1$:

   Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

   $$(-1)^4 - 2(-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 - 1 + 2 + 1 = 5 \neq 0.$$

   Значит, $x = -1$ — тоже не корень.

4. Попробуем факторизацию уравнения.

   Упростим уравнение, перепишем его:

   $$x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0.$$

   Применим метод деления многочленов или попробуем подобрать возможную факторизацию. Мы заметим, что можно представить уравнение как произведение двух квадратных многочленов:

   $$(x^2 - x - 1)(x^2 - x - 1) = 0.$$

   Тогда у нас будет два одинаковых квадратных уравнения:

   $$x^2 - x - 1 = 0.$$

5. Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 1 = 0$:

   Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -1$, $c = -1$:

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$$

   Таким образом, корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.$$

6. Ответ:

   Уравнение $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$