Как найти измерения прямоугольного параллелепипеда, если его V = 165 см³?

Если известен только объём $V=165\text{ см}^3$, то размеры прямоугольного параллелепипеда (длины рёбер $a,b,c$) однозначно найти нельзя: существует бесконечно много троек $(a,b,c)$, у которых $abc=165$.

Что можно сделать:

1. Базовая формула

То есть, зная любые две стороны, третью находите делением 165 на их произведение.
Пример: если $a=5$ см и $b=11$ см, то $c=165/(5\cdot11)=3$ см.

2. Если нужны целые размеры в сантиметрах, перебираем разложения числа 165 на три множителя.
   Разложение на простые: $165=3\cdot5\cdot11$.
   Неупорядоченные тройки целых положительных рёбер (перестановки эквивалентны):

• $1\times1\times165$

• $1\times3\times55$

• $1\times5\times33$

• $1\times11\times15$

• $3\times5\times11$

3. Если известно дополнительное условие, по нему уточняем размеры:

• квадратное основание: пусть основание $a=a$, тогда $h=\dfrac{165}{a^2}$; выбираете $a$ — находите высоту $h$.

• заданы отношения (например, $a:b:c= p:q:r$): тогда $a=pk,\ b=qk,\ c=rk$, и $k=\sqrt[3]{\dfrac{165}{pqr}}$.

• минимальная площадь поверхности при данном объёме — это «почти куб»: $a=b=c=\sqrt[3]{165}\approx 5{,}485$ см (нецелое значение).

Вывод: одного объёма $165\text{ см}^3$ недостаточно для единственного ответа; нужен либо ещё один параметр (две стороны, отношение сторон, площадь поверхности и т. п.), либо ограничение на целочисленность рёбер — тогда подходят перечисленные тройки.