Вопрос задан 26.10.2025 в 20:46. Предмет Математика. Спрашивает Ананич Анастасия.

Решите уравнение sin2x + 1 = sinx + cosx.

0 0 Пожаловаться
Перейти к ответам
Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Отвечает Корепанова Елизавета.

Решим:

sin⁡2x+1=sin⁡x+cos⁡x.\sin2x+1=\sin x+\cos x.

Заметим, что

sin⁡2x+1=2sin⁡xcos⁡x+1=(sin⁡x+cos⁡x)2,\sin2x+1=2\sin x\cos x+1=(\sin x+\cos x)^2,

потому что (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+2sin⁡xcos⁡x(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x.

Тогда уравнение эквивалентно

(sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡x+cos⁡x.(\sin x+\cos x)^2=\sin x+\cos x.

Обозначим y=sin⁡x+cos⁡xy=\sin x+\cos x. Получаем y2=yy^2=y, т.е.

y(y−1)=0⇒sin⁡x+cos⁡x=0    или    sin⁡x+cos⁡x=1.y(y-1)=0 \quad\Rightarrow\quad \sin x+\cos x=0 \;\;\text{или}\;\; \sin x+\cos x=1.

  1. sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0.

2 sin⁡ ⁣(x+π4)=0  ⇒  sin⁡ ⁣(x+π4)=0  ⇒  x=−π4+kπ,  k∈Z.\sqrt2\,\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \;\Rightarrow\; \sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\; k\in\mathbb Z.

  1. sin⁡x+cos⁡x=1\sin x+\cos x=1.

2 sin⁡ ⁣(x+π4)=1  ⇒  sin⁡ ⁣(x+π4)=22  ⇒  x+π4=π4+2πk  или  x+π4=3π4+2πk.\sqrt2\,\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \;\Rightarrow\; \sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2} \;\Rightarrow\; x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi k \;\text{или}\; x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k.

Отсюда

x=2πkилиx=π2+2πk,  k∈Z.x=2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.

Итоговое множество решений:

 x=−π4+kπ    или    x=2πk    или    x=π2+2πk,  k∈Z .\boxed{\,x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\;\; \text{или}\;\; x=2\pi k\;\; \text{или}\;\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z\,}.

0 0 Пожаловаться
Спроси у Chat GPT бесплатно без регистрации!

Похожие вопросы

Математика 29.06.2025 15:12 16 Волкова Маша
Математика 06.07.2025 11:12 20 Халюков Никита
Математика 06.10.2025 09:28 17 Фёдорова Настя
Математика 27.08.2025 10:21 17 Курбатов Максим
Математика 24.04.2025 16:40 29 Сейтбек Амина
Математика 19.05.2025 20:22 16 Мамаев Максим
Математика 15.08.2025 22:28 12 Чебан Лера
Математика 10.01.2024 15:37 226 Иванова Оля
Математика 15.08.2025 06:05 15 Трофимов Саша
Математика 22.08.2025 18:44 17 Улуэр Ирэм

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Математика 09.01.2024 07:30 782 Ким Александр
Математика 04.09.2025 18:21 159 Коляда Алексей
Математика 05.01.2024 20:22 626 Omar Adema
Математика 16.10.2025 06:26 137 Жиряков Андрей
Математика 05.02.2024 12:01 140 Nigga Joseph
Математика 23.12.2023 00:14 5184 Зезюльчик Миша
Математика 18.07.2025 14:43 57 Пазухина Дарья
Математика 23.01.2025 10:12 240 Клеймёнова Катя
Математика 22.03.2025 23:34 252 Бецгольд Миша
Математика 04.02.2024 06:20 848 Ладов Данил

Последние заданные вопросы в категории Математика

Математика 24.10.2025 17:32 10 Подолей Каріна
Математика 24.10.2025 16:36 22 Плюсков Владимир
Математика 24.10.2025 15:37 6 Филиппов Ваня
Математика 24.10.2025 14:34 17 Тюнин Владислав
Математика 24.10.2025 13:38 30 Магазова Адель
Математика 24.10.2025 12:32 3 Божок Дарина
Математика 24.10.2025 11:36 18 Талантов Баяс
Математика 24.10.2025 10:32 11 Остроушко Юлия
Математика 24.10.2025 09:36 12 Антипина Вика
Математика 24.10.2025 08:31 18 Лайер Мира
< Предыдущий Следующий >
Предметы
Задать вопрос
Задать вопрос