Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции?

Функция — это правило (отображение) $f$, которое каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ ставит в соответствие ровно один элемент $y$ из множества $Y$. Пишут: $f\!: X \to Y$, $y=f(x)$. Одному $y$ могут соответствовать разные $x$ (многие-к-одному допустимо), но одному $x$ не может соответствовать два разных $y$ (один-к-многим недопустимо).

Область определения функции (её домен) — это множество всех допустимых значений аргумента, для которых правило задано и даёт результат. Формально: $\operatorname{Dom}(f)=X$.

Область значений (её образ, множество значений) — это множество всех значений, которые реально принимает функция: $\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x)\mid x\in X\,\}\subseteq Y$. Часто отличают:

• Кодомен $Y$ — множество, в которое функция отображает «по замыслу»;

• Область значений $f(X)$ — фактически достигаемые значения (всегда подмножество кодомена).

Короткие примеры:

• $f(x)=\sqrt{x-3}$. Область определения: $[3,\infty)$ (иначе подкоренное отрицательно). Область значений: $[0,\infty)$.

• $g(x)=\sin x$. Область определения: $\mathbb R$. Область значений: $[-1,1]$.

Графически функция распознаётся «вертикальным тестом»: любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке.